CeVis
  1. Center of Complex Systems and Visualization
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In dem regelmäßig stattfindenden Oberseminar tragen Gäste aus aller Welt über Forschungsarbeiten zu Themen vor, die mit der Arbeit von CeVis und MeVis in Verbindung stehen, und Mitarbeiter von CeVis und MeVis präsentieren ihre neusten Ergebnisse.


C(M)eVis-Oberseminar am 10.9.1999


Datum: Freitag, der 10.9.1999
Zeit: 11.00 Uhr s.t.
Ort: Seminarraum Mandelbrot
Referent: Dr. Peter Singer (MeVis)
FUNKTIONALGLEICHUNGEN

Funktionalgleichungen beschreiben funktionale Eigenschaften von Funktionen, Operatoren und Objekten. Das können zum Beispiel bestimmte Skalierungseigenschaften wie Selbstähnlichkeit sein, aber auch andersartige Gesetzmäßigkeiten. Ein sehr einfaches und schönes Beispiel, welches diese Idee verdeutlicht ist die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion, die auf Cauchy 1821 zurückgeht:

E(x+y) = E(x) * E(y)

Unter bestimmten Bedingungen (z.B. E(0) = 1 und E muss stetig sein) charakterisiert diese Gleichung E(x) = exp(x) eindeutig. Die Frage, was ohne solche Bedingungen zu machen ist, führte Hamel 1905 u.a. auf den Begriff der Basis eines Vektorraumes .... Ein zweites Beispiel ist die kontinuierliche Fourier-Transformation, gegeben durch

F[f](x) = 1/sqrt(2*pi) * int_{R^D} e^{itx} f(t) dt.

Sie hat bekanntlich folgende jedem Ingenieur bekannte Symmetrie-Eigenschaften:

Aber diese Eigenschaften reichen auch schon, um F eindeutig zu charakterisieren: Im Jahre 1972 zeigte nämlich Cooper, dass jeder stetige lineare Operator auf gewissen Funktionenräumen mit (FT1)-(FT3) bis auf konstante Multiplikation die Fouriertransformation sein muss. Beiträge hierzu kamen von so illustren Forschern wie Plancherel, Hardy und Stein ... Was ich erzählen möchte, soll einen kleinen Einblick in dieses interessante Gebiet geben (von hohen Bergen über weite Täler geschaut, nicht in die Gassen und Winkel der Dörfer ...) Folgende Punkte werden vorkommen: