CeVis
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In dem regelmäßig stattfindenden Oberseminar tragen Gäste aus aller Welt über Forschungsarbeiten zu Themen vor, die mit der Arbeit von CeVis und MeVis in Verbindung stehen, und Mitarbeiter von CeVis und MeVis präsentieren ihre neusten Ergebnisse.

C(M)eVis-Oberseminar am 28.8.2002

Datum: Mittwoch, 28. August 2002
Zeit: 9.00 Uhr s.t.
Ort: Seminarraum Mandelbrot
Referent: Prof. Dr. Peter Singer (FH Ingolstadt)

Geometrie Metrischer Räume, Einbettungssätze und Ungleichungen

Die Metrische Geometrie wurde von Wilson, Frechet und Menger im ersten Drittel des letzten Jahrhunderts ins Leben gerufen. Eine der zentralen Fragen war, wie eine Abstandsfunktion d(x,y) auf einer (zunächst endlichen) Menge M beschaffen sein muss, damit sie die Struktur eines Euklidischen Abstandes hat. Genauer gefragt, wie muss ein Abstand d(x,y) beschaffen sein, damit eine eine Abbildung J: M -> H von M in einen Hilbertraum H existiert, so dass für die vom Skalarprodukt in H induzierte Norm |.| gilt:

d(x,y) = |j(x) - j(y)|.

Diese Frage wurde zunächst von Menger durch eine Reihe von Determinantenkriterien teilweise beantwortet und schliesslich durch Schönberg im Rahmen der Theorie der Quadratischen Formen geklärt.

Ziel meines Vortrages wird es sein, die oben genannten Ergebnisse im klassischen und modernen Kontext der Funktionalanalysis darzustellen und auch die Begriffe hypermetrischer und L1-einbettbarer Räume einzuarbeiten. Als eine Hauptanwendung dieser Theorie werden in meinem Vortrag stochastische Felder, insbesonderer die Levysche und Fraktale Brownsche Bewegung und deren mehrdimensionale Analoga behandelt.

Kolmogorov hatte 1944 solche Fraktalen Brownsche Felder zur Beschreibung von Turbulenzphänomenen entwickelt, indem er spezielle Kurven j(x_t) in Hilberträumen entwarf (Wienersche Spiralen), welche durch Remetrisation des Grundraumes M entstehen. In der Sprechweise der modernen Wahrscheinlichkeitsrechnung sind die entsprechenden Kurven in Hilberträumen spezielle stochastische Prozesse.

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